martedì 17 maggio 2011

moto sul piano inclinato

Consideriamo un piano inclinato di lunghezza b = 16 m. Su questo piano si decide di sparare dal fondo del pinao verso l'alto una cassa. Tale cassa ritorna sul fondo del piano esattamente dopo 4 s. Il piano inclinato forma un angolo di 30° con l'orizzontale
Determinare: 
  1. l'accelerazione, a,  della  cassa
  2. la velocità iniziale della cassa
  3. la distanza a cui sale sul piano inclinato la cassa.

Soluzione:

Definizioni utili:

1)     Spazio percorso(s) durante moto accelerato:  


dove V0 rappresenta la velocità iniziale, a l'accelerazione e t l'intervallo di tempo.

2) accelerazione (a):          
  , ovvero variazione della velocità nel tempo.

Determiniamo l'accelerazione a della cassa lungo il piano inclinato. La componente parallela al piano inclinato della forza peso vale mgsin(30°). L'accelerazione a lungo il piano inclinato sarà quindi data:



Tale accelerazione sarà diretta in verso opposto alla velocità della cassa durante la risalita e nello stesso verso della velocità durante la discesa.


Per determinare lo spazio percorso sul piano inclinato e la velocità iniziale della cassa possiamo scrivere un sistema di 3 equazioni in 3 incognite:

1)           dove l è lo  spazio percorso dalla cassa a partire dal fondo del  piano inclinato fino a che la cassa non inverte il moto, t1 rappresenta il tempo che la cassa impiega a percorrere lo spazio l in salita , e a è l'accelerazione determinata precedentemente ( 4.9 m/s^2)

2)    dove è lo spazio percorso dal punto precedentemente raggiunto sul piano inclinato fino al fondo del piano,  a è l'accelerazione lungo il piano ( 4.9 m/s^2), e t2 è il tempo che la cassa impiega a percorrere lo spazio l ( questa volta in "discesa")

3)  . ( condizione determinata dal testo del problema: il tempo totale che la cassa impiega a salire e riscendere lungo il piano)

A questo punto possiamo eguagliare l'equazione 1 con la 2 ottenendo:
4) 

Ricordando la definizione 2, possiamo scrivere:
5)   ( il segno meno di V0 si cancella col segno - di a che ha verso opposto rispetto al moto)
Sfruttando la condizione 3 possiamo sostituire t2 come : t2 = 4 - t1.


Sostituiamo quindi nella equazione 4) t1 e t2 e otteniamo:



e con un pò di semplificazioni si ottiene infine:

Sostituendo il valore di V0 nell'equazione 5 si ottiene t1 = 2s. Di conseguenza t2 = 2s ( equazione 3)
A questo possiamo sostituire il valore di t2 nell'equazione 2 e otteniamo:




Considerazioni finali: Avremmo potuto semplificare notevolmente il problema ponendo t1 = t2, che è una condizione generale in questo tipo di problemi ( corpi lanciati verso l'alto che poi riscendono   con la stessa accelerazione)


Andrea Tiseni






3 commenti:

  1. come può essere che la velocità ha le dimensioni di un'accelerazione?!!!

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  2. sei un bugiardo ti metterei in castigo

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  3. ma questo è un esercizio di moto uniformente accelerato ..

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