giovedì 19 maggio 2011

Moto di un proiettile da una collina: massimizzare la gittata

Determinare l'angolo di lancio con l'orizzontale per massimizzare la gittata di un  proiettile lanciato con velocità iniziale V da una collina di altezza h.






Definizioni utili:
1)Spazio percorso (s) in un moto uniformemente accelerato:
con V0 velocità iniziale, t intervallo di tempo, e a accelerazione del moto.

2) Accelerazione (a):    
3) In un moto parabolico alla superficie del mare il tempo che il proiettile impiega a salire al punto più alto della sua traiettoria è uguale al tempo che impiega a scendere dal punto più alto al livello del mare.

Soluzione:

Possiamo pensare il problema in 3 step successivi:
  1. Il proiettile raggiunge il punto più alto della sua traiettoria in un tempo t1. Tale tempo può essere determinato dalla definizione 2:
  2.  dove V  rappresenta la componente della velocità V lungo y(il - del numeratore si cancella scegliendo come sistema di riferimento quello in cui g è positivo);
  3. Il proiettile raggiunge l'intersezione con la linea nera  mostrata in figura in un tempo sempre pari al tempo t1. Questo è dovuto al fatto che  se la linea nera fosse la superficie del mare i tempi per andare dal punto più basso al più alto del moto e dal più alto al più basso sono i medesimi. Inoltre all'intersezione con la linea nera la velocità avrà modulo pari a V ma sarà diretta in verso opposto rispetto alla velocità iniziale. Di conseguenza la sua componente lungo y varrà   e sarà diretta verso il basso.
  4. Il proiettile impiega un certo tempo t2 per andare dalla linea nera fino a terra. Tale tempo può essere ricavata dalla definizione 1:         .  Risolvendo l'equazione di secondo grado e considerando la soluzione positiva possiamo ricavare t2 come:
                                       

La gittata (G) è data dal prodotto tra la velocità lungo x (costante per tutto il tempo del moto) e il tempo che il proiettile impiega a giungere a terra. Quindi possiamo scrivere:    
dove ttot sarà dato da:  .

Sostituendo si ottiene quindi:      

Dove notiamo che il primo termine corrisponde alla gittata "normale" calcolata al livello del mare.
A questo punto si tratta di derivare questa espressione in funzione dell'angolo  e imporre che la derivata sia nulla per trovare i massimi ( così vengono determinati anche i minimi ma andranno scartati).
Utilizzando un programma come ad esempio derive è possibile fare questi calcoli in pochi minuti. Io non sono molto esperto, ma ho provato a cimentarmi nel calcolo.
Il risultato che ho ottenuto è :

.

Se qualcuno ottiene risultati diversi è pregato di farmi sapere. 
Andrea  Tiseni

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