venerdì 6 maggio 2011

Equazioni differenziali: La spirale logaritmica


Il lato affascinante delle equazioni differenziali, nonché lo scopo principale per cui sono utilizzate, è la capacità di rappresentare modelli. Spesso ciò che osserviamo è esprimibile in forma matematica come equazione differenziale, conoscendone la soluzione e le condizioni iniziali, siamo in grado di prevedere l'andamento di ciò che abbiamo osservato.

Un semplice esempio di modello è il seguente.
C'è un faro, il cui fascio può essere direzionato da un uomo, che sta seguendo con la sua luce un nave. Questa nave contiene un carico di droga e vuole evitare di essere illuminata, nascondendosi nelle tenebre ed al contempo allontanandosi. Se volesse solamente allontanarsi, la sua traiettoria sarebbe il raggio di un cerchio centrato nel faro. Se volesse solamente nascondersi, si muoverebbe perpendicolarmente al raggio, disegnando un traiettoria circolare.
Ma, poiché vuole fare entrambe le cose, decide di allontanarsi con un angolo di 45° rispetto alla direzione del fascio.
Qual'è la traiettoria della nave?

Poniamoci in un sistema cartesiano (x,y), con le seguenti caratteristiche:
  • il faro si trova nell'origine;
  • la nave si trova nel punto generico (x,y);
  • la direzione del fascio luminoso è data dall'angolo



L'unica informazione che abbiamo a disposizione è che la traiettoria forma un angolo di 45° con la direzione del fascio luminoso.
Tuttavia questo ci permette di sapere la pendenza della traiettoria in ogni punto. È tutto ciò che ci serve per scrivere un'equazione differenziale.
Dunque, per ogni punto (x,y), la pendenza è data dall'equazione:


Trovando la soluzione di questa equazione differenziale, troveremo il luogo dei punti che soddisfano la condizione imposta: la curva che descrive la traiettoria della nave.

Dal disegno si nota che:


Utilizzando le regole per la tangente della somma di due angoli e la relazione appena scritta, possiamo riscrivere l'equazione differenziale nella seguente maniera:



Equazioni che appaiono in questa forma vengono dette omogenee.
Queste equazioni sono sempre risolvibili, e la procedura standard per la risoluzione prevede i seguenti passaggi:
  • Si introduce una nuova variabile:


  • Si effettua la sostituzione:


  • Ottenendo:

  • Separando le variabili:


  • Integrando:

  • Che si riscrive come:


  • Si porti dentro la radice la x, sfruttando le proprietà dei logaritmi; si effettui la sostituzione di z per ritornare in x ed y:


  • Questa equazione rappresenta la traiettoria della nave, C è definita in modo che quando scegliamo una posizione iniziale (x,y) della nave, i due membri siano effettivamente uguali.
Tuttavia il passaggio a coordinate polari rende semplicissima quanto bella tale soluzione:





Esponenziando entrambe i membri otteniamo:



Dove k è l'opportuna costante arbitraria.

Questa è l'equazione della spirale logaritmica, la cui forma si ritrova in numerosi esempi in Natura.



Luca Bartolini

5 commenti:

  1. L'hai fatto tu l'integrale?

    RispondiElimina
  2. gran commento quello di Fero!!!

    RispondiElimina
  3. No, l'ho fatto io! Per ripetizioni ho ripassato gli integrali, non come te che perdi clienti per questo! :D

    RispondiElimina