mercoledì 11 maggio 2011

Equazioni differenziali: equazione logistica (soluzione grafica)

In questo post si parlerà di un modello particolare di crescita delle popolazioni, la cui soluzione è detta equazione logistica. Non si ricaverà la soluzione analitica, ma l'approccio al problema sarà grafico.
Il modello di crescita più semplice è quello in cui l'incremento della popolazione è proporzionale alla popolazione stessa: maggiore è la popolazione, maggiore è la crescita. In termini matematici, abbiamo:


Dove y rappresenta la popolazione, t è il tempo ed a è una costante positiva che rappresenta il cosiddetto "tasso di crescita". 
L'equazione si risolve per separazione di variabili:



Ottenendo:
Con C costante arbitraria.
Volendo la soluzione nella forma y(t), esponenziamo entrambe i membri:


La costante arbitraria C appare all'esponente, ma possiamo notare che all'istante 0, y vale proprio .
Possiamo dunque interpretare la costante   come popolazione all'istante iniziale, chiamandola di conseguenza:  .
La soluzione dell'equazione differenziale che abbiamo scritto prima è dunque:



Questa equazione rappresenta la crescita esponenziale di una popolazione iniziale che si riproduce con un tasso a
È chiaro che questa soluzione è poco significativa (dal punto di vista del modello): nella realtà vi sono diversi fattori che limitano la crescita esponenziale di una popolazione: per prima cosa lo spazio e le risorse non sono infinite e non permettono il sostentamento di un numero illimitato di individui. Mentre l'esponenziale continua indefinitamente a crescere, altrettanto non fanno le risorse (che se crescono, non crescono di pari passo). In un modello migliore ci aspettiamo almeno che la soluzione non diverga al passare del tempo. 
La modifica più semplice che possiamo fare al modello precedente è quella di prendere un tasso di riproduzione non costante, ma lineare
Ovvero nel nostro modello andiamo a sostituire:


In pratica il tasso di riproduzione costante utilizzato in precedenza viene corretto dal secondo termine -by che ha la funzione di abbassare il tasso di crescita all'aumentare della popolazione. Questo è ragionevolmente vero; proprio per la questione della limitatezza delle risorse, ha senso dire che popolazioni molto grandi si riprodurranno più lentamente (possiamo immaginare che esse stiano sfruttando già al massimo il loro ambiente), a differenza di quelle poco numerose per cui la crescita resta quasi esponenziale (per y che tende a 0, il tasso di riproduzione ritorna come nel caso precedente).
Il nostro modello, dotato di un migliore tasso di riproduzione, diventa il seguente:


Solo grazie alla sua forma, possiamo trarre delle conclusioni che ci porteranno a disegnare la soluzione, permettendoci delle informazioni qualitative senza dover risolvere analiticamente l'equazione differenziale.

La prima cosa che è possibile notare è che la derivata temporale dell'equazione non dipende dal tempo. Queste equazioni differenziali vengono chiamate "autonome", in quanto la derivata non dipende dalla variabile indipendente. Nel nostro caso, poiché la variabile indipendente è il tempo, l'equazione viene detta "tempo-invariante".
Quello che possiamo dire di una equazione autonoma è che le infinite soluzioni che vengono permesse dai diversi valori attribuibili alla costante arbitraria avranno tutte la stessa forma, e differiscono tra loro solo per la posizione lungo l'asse indipendente. Disegnando una soluzione è sufficiente traslarla lungo l'asse indipendente per ottenere tutte le altre.
Vediamo inoltre se esistono soluzioni costanti; se la popolazione comincia con questi particolari valori, non cambia. Cerchiamo queste soluzioni ponendo uguale a 0 la derivata temporale:


che risulta verificata per:


I valori y1 ed y2 vengono detti punti critici.
La prima soluzione è banale: se una popolazione è inesistente, resterà tale per il resto dei secoli; meno banale è la seconda soluzione; se la popolazione vale a/b in un certo istante, allora sappiamo che resterà tale per sempre.
Queste soluzioni costanti erigono delle "barriere" fra le soluzioni. Sappiamo infatti che per il teorema di unicità, le soluzioni di un'equazione differenziale non possono incrociarsi (sotto opportune condizioni che in questo caso, e nella maggioranza degli altri, si verificano). Per questo motivo, il piano viene diviso in tre segmenti orizzontali, delimitati dalle due soluzioni orizzontali y1=0 e y2=a/b; qualsiasi soluzione che si trovi in uno di questi segmenti, non ne può uscire, poiché così facendo, intersecherebbe tali soluzioni.
Come primo passo, possiamo disegnare il seguente grafico:



Ogni soluzione appartiene esclusivamente ad uno dei tre segmenti, e le due soluzioni orizzontali y1=0 ed y2=a/b li separano.
Il valore della popolazione iniziale (y0) è parte della soluzione, in quanto abbiamo  .
Possiamo utilizzare dunque la popolazione iniziale come discriminante per decidere a quale segmento apparterrà la soluzione. Ovviamente l'appartenenza al terzo segmento implica un popolazione iniziale negativa, cosa fisicamente impossibile. Tuttavia il modello ha soluzione matematica anche in questo caso e per completezza, studieremo anch'esso.


Il passo successivo nell'analisi grafica sta nello studio del segno della derivata  .
Così facendo, possiamo sapere quando la soluzione (ricordiamo che la soluzione ci dice la popolazione al passare del tempo, dunque la y(t)  )  è crescente o descrescente, permettendoci di tracciarla in maniera qualitativa. La derivata di y ci è data in forma esplicita proprio dall'equazione differenziale.
Studiamone il segno:






La derivata della funzione è positiva solamente nel 2°segmento. Dunque tutte le soluzioni nel secondo segmento saranno monotone crescenti, mentre 1° e 3° segmento presenteranno soluzioni monotone descrescenti. Inoltre vediamo che più ci si allontana dai punti critici 0 e a/b, maggiore è il valore assoluto della derivata.

Possiamo ora disegnare le soluzioni in maniera qualitativa, utilizzando le considerazioni fatte sinora.
Concentriamoci sul secondo segmento, che rappresenta quello di maggior interesse fisico.
Supponiamo un popolazione iniziale y0 molto vicina allo zero. In altre parole abbiamo preso una soluzione particolare, imponendo un valore alla costante arbitraria y0. Come si vede dal secondo grafico, vicino a zero la funzione è poco crescente. Crescendo lentamente, la popolazione aumenta di valore, allontanandosi dallo zero. Questo fa sì che cresca sempre più velocemente. Raggiunto il punto medio fra y1 ed y2y=a/(2b), troviamo il massimo della derivata prima (ovvero la derivata seconda si annulla) e di conseguenza troviamo un cambio di concavità: la soluzione passa da curvatura positiva a curvatura negativa. Man mano che la popolazione continua a crescere, la derivata prima continua a diminuire, fino a diventare asintoticamente zero quando il valore la popolazione approccia la retta orizzontale y=a/b.
Un disegno vale più di 1000 parole:


Abbiamo appena disegnato l'equazione logistica

Come già detto, tuttavia, quella disegnata rappresenta una soluzione particolare, ovvero una soluzione in cui è stato imposto un valore particolare alla costante arbitraria. Tuttavia l'equazione differenziale che descrive questa curva è tempo-invariante (o autonoma), cosa che ci garantisce che tutte le altre soluzioni sono semplici traslazioni lungo t della curva che abbiamo appena tracciato. Esse intersecano l'asse y in punti differenti, ed i punti di intersezione con l'asse delle y rappresentano i diversi valori possibili di popolazione iniziale.

L'andamento ad S che la rappresenta queste soluzioni si ritrova in molti altri esempi di significato fisico. Vediamo che una qualsiasi popolazione iniziale (compresa fra 0 ed a/b) cresce fino a raggiungere asintoticamente il valore limite a/b.

Nel 3° dominio, la derivata prima è tanto più negativa quanto più è alta la popolazione: se la popolazione di partenza è molto maggiore di a/b, essa diminuirà molto velocemente. Man mano che la popolazione, calando, si avvicina al valore a/b, la sua derivata temporale diventa sempre meno negativa, diventando asintoticamente nulla al passare del tempo. In altre parole, anche partendo da una popolazione iniziale nel 1°segmento, si raggiunge asintoticamente il valore a/b.

Qualsiasi valore significativo di popolazione iniziale (non negativo) varia al passare del tempo avvicinandosi ad a/b. Tutte le soluzioni del 1°e 2° segmento convergono su questa soluzione.

Nel terzo segmento, la derivata è sempre negativa, e più si scende, più la derivata è negativa. Parlando di una virtuale  "popolazione negativa", essa diminuirebbe al passare del tempo, e lo farebbe sempre più velocemente.

 Graficamente:


Abbiamo così disegnato qualitativamente la soluzione dell'equazione differenziale di crescita logistica senza conoscerne l'espressione analitica
In questo particolare caso, la soluzione analitica è ricavabile, ma in altri casi, quando non si riesce a conoscere l'espressione analitica della soluzione, il metodo grafico appena presentato si rivela indispensabile.

Luca Bartolini


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