giovedì 5 maggio 2011

Conservazione quantità di moto

Andrea e Simone sono i capitani di due navi in viaggio su un fiume. La barca di Andrea di massa ( m1) 10000kg si sta muovendo in una certa direzione che per comodità definiamo asse x da sinistra verso destra ad una velocità (v1) di 6m/s. La barca di Simone di massa (m2) 20000 kg si muove perpendicolarmente alla barca di Andrea lungo una direzione che definiamo y dal basso verso l'alto ad una velocità (v2) di 4m/s. Ad un certo punto le barche si scontrano.  Subito dopo l'urto la barca di Simone devia di 18° verso destra (vedi figura1) e la sua velocità finale (v'2) risulta essere di 9 m/s.
Assumiamo che la corrente del fiume sia nulla. 
Determinare la quantità di moto Pfin1  della barca di Andrea.

figura1: In rosso la barca di Andrea in blu la barca di Simone. La freccia nera rappresenta la velocità (v'2) della barca di Simone dopo l'urto
Definizioni Utili:
1) Quantità di moto(p): 


Soluzione:

Ricordiamo che il principio di conservazione della quantità di moto vale per qualsiasi direzione in cui la sommatoria delle forze esterne al sistema sia nulla.

Sfruttando questo concetto si ottiene una rapida soluzione al problema, esposta qui di
seguito.

Per prima cosa esplicitiamo la conservazione della quantià di moto lungo gli assi principali del moto, che sono, in figura 2, l'asse x e l'asse y.


Figura 2


Asse x:


Asse y:


Dai dati si nota che m2 = 2*m1,, perciò sostituiamo e elidiamo m1, ottenendo:

 Formula 1

 Formula 2 (si noti il 'meno' dovuto alla particolare scelta fatta per il vettore v'1, cioè con verso concorde al verso negativo dell'asse y)

Ora isoliamo il seno e il coseno di alfa dalle due equazioni e dividiamo  membro a membro le due equazioni per risolvere il sistema. In questo modo si ottiene la tangente di alfa. In formule:


da cui è semplice ottenere il valore di alfa, utilizzando la funzione arcotangente (tan^-1, sulla calcolatrice)

 = 2,75°

ora passiamo al calcolo del modulo di v'1. Il calcolo è molto semplice perché il sistema ormai è risolto, e il valore si ottiene sostituendo il valore di alfa in una qualsiasi delle due equazioni del sistema e ricavare v'1.

Ad esempio:


che dà il valore 9.12 m/s.

Suggerimento: una volta finiti i conti, inserirli nelle equazioni di partenza e verificare che portino ad un'uguaglianza, al fine di accorgersi di eventuali errori di calcolo o di riporto.

P.S. non sono state valutate correttamente le cifre significative delle soluzioni perché questo non era il fine del
problema


Fabio Feroldi




Secondo metodo di risoluzione:
Definizioni Utili:
1) Quantità di moto(p): 

2) Teorema dei coseni: 

\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.

figura2



Principio di risoluzione:
La risultante delle forze esterne al sistema delle due barche è nulla: la quantità di moto risulta conservata.
Per risolvere il problema useremo il teorema dei coseni



Soluzione:
Applichiamo la conservazione della quantità di moto. Calcoliamo la quantità di moto iniziale (Pin):

Con: 


Sostituendo i valori numerici si ottiene: Pin1 = 60000 kgm/s con stessa direzione e verso della velocità  v1
Pin2 = 80000 kgm/s con stessa direzione e verso della velocità  v2.

A questo punto per ottenere Pin dobbiamo sommare vettorialmente i due valori. In questo caso essendo le due quantità di moto perpendicolari basterà utilizzare il teorema di Pitagora.
Otteniamo quindi:
e sostiuendo i valori numerici Pin = 100000 kgm/s.

Determiniamo ora la direzione e il verso di Pin: l'angolo   () fra Pin e l'asse y sarà determinato invertendo la definizione di coseno:
.

Dai dati iniziali possiamo ricavare Pfin2 m2v'2 = 180000 kgm/s diretta come in figura 3 a 18° rispetto all'asse y. L'angolo ( ) fra Pin  e Pfin2 è dato da:




figura 3: La freccia rossa rappresenta Pin, la freccia nera Pfin2 . L'angolo fra Pin e Pfin2è l'angolo  (  ) mentre l'angolo fra  Pin e l'asse y è . Pfin1 è determinato dalla differenza fra 
PinPfin2

A questo punto utilizzando il teorema dei coseni possiamo ricavare il modulo di Pfin1:

Applicando il teorema dei coseni al triangolo che ha come vertice questi tre lati si ottiene:




Da cui estraendo la radice si ottiene: Pfin1 = 91317.54 kgm/s ( diretto nel verso positivo dell'asse x e negativo dell'asse y)



figura 4: La freccia rossa rappresenta Pin, la freccia nera Pfin2 , la freccia blu  Pfin1.
Ora dobbiamo determinare l'angolo fra  Pfin1 e l'asse y. Per fare ciò riutilizziamo il teorema dei coseni per calcolare l'angolo (  ) fra  -Pfin2 Pfin2 con verso opposto a quello di figura 4)e  Pfin1: 


Con  = 20.76°. A questo punto L'angolo  () fra l'asse y e Pfin1 sarà dato da:




Andrea Tiseni







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